在上篇文章”重力比一比”的討論，我們提到保持質量M不變但將星體半徑r漸漸縮小時，廣義相對論描述的時空彎曲效應將越來越重要。定量上，究竟星體要多緻密，廣義相對論的效應將逐漸重要呢?
答案就是將星體半徑r和一個特徵半徑相比較:史瓦茲半徑(Schwarzschild radius)。史瓦茲半徑Rsch的大小只和星體的質量M有關:Rsch=2GM/c2，其中G為重力常數，c為光速。當M是一個太陽質量時，Rsch=3公里。若將太陽的半徑(約為七十萬公里)與其史瓦茲半徑相比，則大了約105數量級 (r ~105Rsch)。像中子星這樣的緻密天體(compact object)，則與其史瓦茲半徑相比只大了約3倍(r >~3Rsch)。有趣的是，廣義相對論的修正在地球上的弱重力場仍然是可測量到的。儘管地球的半徑與其史瓦茲半徑相比，約大了108數量級，但在用於導航的全球定位系統(GPS)的應用上，廣義相對論效應造成的誤差仍舊需要被考慮以達到準確地位的要求!
史瓦茲半徑還扮演另為一個角色，那就是靜止黑洞的事件視界(event horizon)的半徑大小。在黑洞形成的過程中，所有質量都逐漸塌縮到一個點，並其周圍形成事件視界的奇怪時空結構。我們通常把事件視界稱為黑洞的大小(rBH=Rsch)，因為一但進入了黑洞的事件視界，就再也回不到外部宇宙了。
圖一畫出不同的黑洞質量(以太陽質量為單位)所對應的史瓦茲半徑(以公里為單位)大小。根據觀測，存在於宇宙中且被普遍觀察到黑洞可以根據質量分類為恆星級質量黑洞(stellar-mass black holes, 約有數十個太陽質量；參考圖二與圖三)，以及超大質量黑洞(super massive black holes, 約有數百萬到數十億個太陽質量；參考圖四與圖五)。
圖一:黑色圓形表示黑洞質量(以太陽質量為單位)所對應的史瓦茲半徑(以公里為單位)大小。一個具有約103太陽質量的黑洞大概有地球那麼大；一個具有約107太陽質量的黑洞，其半徑則有太陽到冥王星(Pluto)的距離那麼大! 圖中紅色數據標示出在事件視界內的平均密度。越大的黑洞其密度越低 (想一想為什麼?)。妳可以看出，如果將太陽系都填滿水(密度為1 g/cm3)，將有足狗的自身重力而產生黑洞嗎?
credit: 卜宏毅
圖二: 目前觀測到約有二十個恆星級質量的黑洞系統，可以藉由與伴星(companion star)的交互作用以及其黑洞周圍的吸積盤(accretion)所發出的X-射線被觀測到。圖中將這些黑洞X-射線雙星系統(black hole X-ray binaries)依照比例畫出。作為比例尺，圖上方也畫出太陽與水星(Mercury)的距離。
credit:Jerome Orosz
圖三:藉由偵測遠方兩個黑洞合併所傳達到地球的時空擾動， 地面上的重力波探測器(例如LIGO與VIRGO)提供了另一種發現恆星級質量黑洞系統的方式(藍色圖示)。圖二中的黑洞X-射線雙星系統則用紫色圖示。圖中也畫出已觀測到的中子星系統，以黃色圖示。
credit: LIGO-Virgo/Frank Elavsky/Northwestern University
圖四:Centaurus A (半人馬座 A) 在不同電磁波波段(可見光，X-射線，紅外線，無限電波)的觀測。半人馬座 A星系中心有個約五百五十萬的太陽質量的黑洞，是超大質量黑洞的一個範例(想想看這個黑洞的尺寸有比太陽系還要大嗎?)。圖中的大尺度噴流的源頭正是星系中心的超大質量黑洞!
credit:X-ray: NASA/CXC/SAO; optical: Rolf Olsen; infrared: NASA/JPL-Caltech; radio: NRAO/AUI/NSF/Univ.Hertfordshire/M.Hardcastle
圖五: 人類史上的第一張黑洞影像是M87星系中心的超大質量黑洞，約有六十五億個太陽質量。照片中央黑色區域正是因為黑洞周圍發光物質所烘托出黑洞的”剪影”。圖中依照比例畫出太陽到冥王星(Pluto)的距離。
credit: webcomic XKCD
撰文者：卜宏毅